Приложения производной
4. Исследуем функцию y = f(x) на непрерывность. Если функция имеет в
точке x0 разрыв, то отмечаем ее на чертеже.
5. Находим асимптоты кривой, если они имеются.
6. Находим максимум и минимум функции и отмечаем на чертеже точки кривой
с максимальной и минимальной ординатами.
7. Исследуем кривую y = f(x) на выпуклость вверх или вниз, находим точки
перегиба кривой и отмечаем их на чертеже.
8. Вычерчиваем кривую y = f(x).
6.6. Касательная и нормаль к плоской кривой.
Пусть даны кривая y = f(x) и точка M (x1 ; y1) на ней. Требуется
составить уравнения касательной и нормали (смотри рисунок).
Как известно, угловой коэффициент k касательной к кривой y = f(x) в
точке M (x1 ; y1) равен значению f '(x1) производной y' = f '(x) при
x = x1/ Следовательно, уравнение касательной можно записать в виде
уравнения прямой, проходящей через данную точку в данном направлении, т.е.
в виде y - y1 = f '(x1)(x - x1)
Нормалью называется прямая, проходящая через точку касания
перпендикулярно касательной. поэтому ее угловой коэффициент равен [pic], а
уравнение записывается в виде [pic]
7.Экономическое приложение производной.
7.1.Экономическая интерпретация производной
В экономической теории активно используется понятие «маржинальный»,
что означает «предельный». Введение этого понятия в научный оборот в XIX
веке позволило создать совершенно новый инструмент исследования и описания
экономических явлений - инструмент, посредством которого стало возможно
ставить и решать новый класс научных проблем.
Классическая экономическая теория Смита, Рикардо, Милля обычно имела
дело со средними величинами: средняя цена, средняя производительность труда
и т.д. Но постепенно сложился иной подход. Существенные закономерности
оказалось можно обнаружить в области предельных величин.
Предельные или пограничные величины характеризуют не состояние (как
суммарная или средняя величины.), а процесс, изменение экономического
объекта. Следовательно, производная выступает как интенсивность изменения
некоторого экономического объекта (процесса) по времени или относительно
другого исследуемого фактора.
Надо заметить, что экономика не всегда позволяет использовать
предельные величины в силу прерывности (дискретности) экономических
показателей во времени (например, годовых, квартальных, месячных и т.д.). В
то же время во многих случаях можно отвлечься от дискретности и эффективно
использовать предельные величины.
Рассмотрим ситуацию: пусть y - издержки производства, а х -
количество продукции, тогда (x- прирост продукции, а (y - приращение
издержек производства.
В этом случае производная [pic] выражает предельные издержки
производства и характеризует приближенно дополнительные затраты на
производство дополнительной единицы продукции [pic],где MC – предельные
издержки (marginal costs); TC – общие издержки (total costs); Q -
количество.
Геометрическая интерпретация предельных издержек - это тангенс угла
наклона касательной к кривой в данной точке (см. рис.).
Аналогичным образом могут быть определены и многие другие
экономические величины, имеющие предельный характер.
Другой пример - категория предельной выручки (MR— marginal revenue) —
это дополнительный доход, полученный при переходе от производства n-ной к
(n+1)-ой единице продукта.
Она представляет собой первую производную от выручки: [pic].
При этом R= PQ, где R–выручка (revenue); P–цена (price).
Таким образом [pic], ( MR= P.
Это равенство верно относительно условий совершенной конкуренции,
когда экономические агенты каждый по отдельности не могут оказать влияния
на цену.
Обратимся к теориям потребления: кардиналистской и ординалистской.
Кардиналистский (количественный) подход к теории цен предполагает
равное влияние величин полезности товара и затрат на его производства на
формирование цены. В основе рассматриваемого подхода - исследования А.
Маршалла.
Ординалистский (Порядковый) подход к теории цен разрабатывался И.
Фишером, В. Парето. Суть данного подхода состоит в том, что потребители,
имеющие определенный уровень доходов, сравнивают между собой цены и
полезность различных наборов экономических благ и отдают предпочтение тем
наборам, которые при сравнительно низких ценах имеют максимальную
полезность для конкретного потребителя.
В соответствии с первой, суммарную полезность U для любого субъекта,
если в экономике существует n потребительских благ в объемах х1, x2,… хn,
можно выразить в виде кардиналистской функции полезности:
U= U(х1, x2,… xn).
Предельные полезности MU товаров выступают в качестве ее частных
производных: [pic]. Они показывают, на сколько изменяется полезность всей
массы благ, достающихся субъекту, при бесконечно малом приращении
количества блага i (i=1,2…n)
В ординалистской теории полагается, что потребитель оценивает
полезность не отдельных благ, а потребительских наборов; что он способен
сопоставить полезности наборов товаров.
Ординалистская функция полезности исследована подробно, значительный
вклад в ее изучение внес Дж. Хикс. После его трудов началось
прогрессирующее вытеснение понятия "предельная полезность" категорией
предельной нормы замещения (MRS – marginal rate of substitution).
Предположим, что происходит замещение товара y товаром х при движении
сверху вниз вдоль кривой безразличия. Предельная норма замещения товара y
товаром x показывает, какое количество товара x необходимо для того, чтобы
компенсировать потребительскую утрату единицы товара y.
Они определяются так: [pic].
Т.к. dy отрицательно, знак "-" вводится, чтобы MRS была больше нуля.
Итак, предельная норма замещения геометрически есть касательная к кривой
безразличия в данной точке. Значение предельной нормы замещения по
абсолютной величине равно тангенсу угла наклона касательной к кривой
безразличия.
Приведем еще один пример элементарного анализа на микроуровне, который
имеет аналог и на макроуровне.
Любой индивид свой доход Y после уплаты налогов использует на
потребление C и сбережение S. Ясно, что лица с низким доходом, как
правило, целиком используют его на потребление, так что размер сбережения
равен нулю. С ростом дохода субъект не только больше потребляет, но и
больше сберегает. Как установлено теорией и подтверждено эмпирическими
исследования, потребление и сбережение зависят от размера дохода:
Y= C(Y) + S(Y).
Зависимость потребления индивида от дохода называется функцией
склонности к потреблению или функцией потребления.
Использование производной позволяет определить такую категорию, как
предельную склонность к потреблению MPC (marginal property to consume),
показывающую долю прироста личного потребления в приросте дохода: [pic].
По мере увеличения доходов MPC уменьшается. Последовательно определяя
сбережения при каждом значении дохода, можно построить функцию склонности к
сбережению или функцию сбережения. Долю прироста сбережений в приросте
дохода показывает предельная склонность к сбережению MPS(marginal
propensity to save): [pic].
С увеличением доходов MPS увеличивается.
Еще одним примером использования производной в экономике является
анализ производственной функции. Поскольку ограниченность ресурсов
принципиально не устранима, то решающее значение приобретает отдача от
факторов производства. Здесь также применима производная, как инструмент
исследования. Пусть применяемый капитал постоянен, а затраты труда
увеличиваются. Можно ввести в экономический анализ следующую категорию -
предельный продукт труда MPL(marginal product of labor) – это
дополнительный продукт, полученный в результате дополнительных вложений
труда (L – labor) при неизменной величине капитала:[pic].
Если вложения осуществляются достаточно малыми порциями, то [pic], т.к. dY
- результат, dL - затраты, то MPL – предельная производительность труда.
Аналогично, MPk - предельный продукт капитала - дополнительный
продукт, полученный в результате дополнительных вложений капитала K при
неизменной величине труда:[pic].
Если вложения осуществляются малыми порциями, то [pic].
MPk - характеризует предельную производительность капитала.
Для исследования экономических процессов и решения других прикладных
задач часто используется понятие эластичности функции.
Определение: Эластичностью функции Еx(y) называется предел отношения
относительного приращения функции y к относительному приращению переменной
x при (x(0:
[pic].
Эластичность функции показывает приближенно, на сколько процентов изменится
функция y= f(x), при изменении независимой переменной x на 1%.
Приведем несколько конкретных иллюстраций такой зависимости. Прямой
коэффициент эластичности спроса по цене устанавливает, на сколько процентов
увеличивается (уменьшается) спрос Q на товар i при уменьшении (увеличении)
его цены P на 1%: [pic].
Перекрестный коэффициент эластичности спроса по цене [pic] показывает,
на сколько процентов изменится спрос на товар i при однопроцентных
колебаниях цены товара j (j = 1,2,…n): [pic].
Количественную сторону взаимодействия дохода и спроса отражает
коэффициент эластичности спроса по доходу, который у
| |  скачать работу |
Приложения производной |
