Приложения производной
словием существования экстремума
функции f (x) в точке x0 : можно привести много примеров функций,
удовлетворяющих этому условию при x = x0 , но, однако, не достигающих
экстремума при x = x0.
Например, производная функции y = x3 при x0 = 0 равна нулю, однако эта
функция при x0 = 0 не достигает экстремального значения.
6.2.Достаточные условия убывания и возрастания функции. Достаточные условия
экстремума функции.
Теорема 4.Если функция f(x) имеет в каждой точке интервала (a, b)
неотрицательную производную, то она является неубывающей функцией в этом
интервале.
Теорема 5. Если функция f(x) в каждой точке интервала (a, b) имеет
неположительную производную, то она является невозрастающей функцией в этом
интервале.
Теорема 6. (первый достаточный признак экстремума). Если производная
f '(x) функции f(x) обращается в нуль в точке x0 или не существует и при
переходе через x0 меняет свой знак, то функция f(x) имеет в этой точке
экстремум (максимум, если знак меняется с "+" на "-", и минимум, если знак
меняется с "-" на "+").
Теорема 7. (второй достаточный признак существования экстремума
функции). Если в точке x0 первая производная f '(x) функции f(x) обращается
в нуль, а её вторая производная f ''(x) отлична от нуля, то в точке x0
функция f(x) достигает экстремума (минимума, если f ''(x) > 0, и максимума,
если f ''(x) < 0). Предполагается, что f ''(x) непрерывна в точке x0 и ее
окрестности.
6.3 .Правило нахождения экстремума
1°. Чтобы найти экстремум функции, надо:
1) найти производную данной функции;
2) приравнять производную нулю и решить полученное уравнение; из
полученных корней отобрать действительные и расположить их (для удобства)
по их величине от меньшего к большему; в том случае, когда все корни
оказываются мнимыми, данная функция не имеет экстремума;
3) определить знак производной в каждом из промежутков, отграниченных
стационарными точками ( стационарными точками называют точки в которых
производная равна 0);
4) если производная положительна в промежутке, лежащем слева от данной
стационарной точки, и отрицательна в промежутке, лежащем справа от нес, то
данная точка есть точка максимума функции, если же производная отрицательна
слева и положительна справа от данной стационарной точки, то данная точка
есть точка минимума функции; если производная имеет один и тот же знак как
слева, так и справа от стационарной тонки, то в этой точке нет ни
максимума, ни минимума, функции;
5) заменить в данном выражении функции аргумент значением, которое дает
максимум или минимум функции; получим значение соответственно максимума или
минимума функции.
Если функция имеет точки разрыва, то эти точки должны быть включены в
число стационарных точек, разбивающих Ох на промежутки, в которых
определяется знак производной.
6.4.Точка перегиба графика функции.
Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью
вверх, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой,
соответствующая этой окрестности, лежит под касательной к этой кривой,
проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1а).
|Рисунок 1 |
Будем говорить, что кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью
вниз, если существует такая окрестность точки x0 , что часть кривой,
соответствующая этой окрестности, лежит над касательной к этой кривой,
проведенной в точке A с абсциссой x0. (см. Рисунок 1б).
Из определения выпуклости вверх (вниз) кривой y = f(x) в точке x0
следует, что для любой точки x из интервала (x0 - h, x0 + h), не
совпадающей с точкой x0, имеет место неравенство f(x) - y < 0 ( f(x) -
y > 0) где f(x) - ордината точки M кривой y = f(x), y - ордината точки N
касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к
данной кривой в точке A. (смотри рисунок 1, а, б).
Ясно, что и наоборот, если для любой точки x интервала (x0 - h, x0 + h),
не совпадающей с x0, выполняется неравенство f(x) - y < 0 (f(x) -
y > 0),
то кривая y = f(x) в точке x0 обращена выпуклостью вверх (вниз).
Будем называть кривую y = f(x) выпуклой вверх (вниз) в интервале (a, b),
если она выпукла вверх (вниз) в каждой точке этого интервала.
Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вверх в интервале (a, b), то с
увеличением аргумента x угловой коэффициент касательной к этой кривой в
точке с абсциссой x будет уменьшаться.
|[pic] |
|Рисунок 2. |
В самом деле, пусть абсцисса x1 точки A меньше абсциссы x2 точки B (рис.
2). Проведем касательные t1 и t2 соответствено в точках A и B к кривой
y = f(x). Пусть a и j - углы наклона касательных t1 и t2. Тогда из рис. 2
видим, что j - внешний угол треугольника ECD, а поэтому он больше угла a.
Следовательно tg? > tg? или f '(x1 ) > f '(x2 ).
Таким образом мы показали, что если в интервале (a, b) кривая y = f(x)
обращена выпуклостью вверх, то с увеличением аргумента x функция y = f '(x)
убывает. Поэтому вторая производная f ''(x) функции f(x), как производная
убывающей фунции f '(x), будет отрицательна или равна нулю в интервале
(a, b): f ''(x)?0.
|[pic] |
|Рисунок 3. |
Если кривая y = f(x) обращена выпуклостью вниз, то из рис.2
непосредственно видно, что tg? > tg? т.е. f '(x2 ) > f '(x1 ), а поэтому в
интервале (a, b) производная f '(x) возрастает. Тогда вторая производная
f ''(x) функции f (x), как производная возрастающей в интервале (a, b)
функции f '(x), будет положительна или равна нулю: f ''(x)?0.
Докажем, что и наоборот, если f ''(x)?0 в некотором интервале (a, b), то
в этом интервале кривая y = f (x) обращена выпуклостью вверх; если
f ''(x)?0 в интервале (a, b), то в этом интервале кривая обращена
выпуклостью вниз.
Запишем уравнение касательной y - y0 = f '(x0 )(x - x0 ) к кривой
y = f (x) в точке x0, где a < x0 b, в виде y = y0 + f '(x0 )(x - x0 ).
Очевидно, y0 = f(x0 ), а потому последнее уравнение можно записать в виде
y = f(x0 ) + f '(x0 )(x - x0 ). (1)
Но, согласно формуле Тейлора, при n = 2 имеем:
[pic] (2)
Фиксируя x в интервале (a, b) и вычитая почленно из уравнения (2) уравнение
(1), получим:[pic] (3)
Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, где 0 < ? < 1, то имеем f(x) - y ? 0
откуда следует, что кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вверх.
Если f ''[x0 + ?(x - x0 )]?0, то имеем f(x) - y ? 0 откуда следует, что
кривая y = f(x) в точке x обращена выпуклостью вниз.
Так как была зафиксирована произвольная точка x интервала (a, b), то
высказанное выше утверждение доказано.
|[pic] |
|Рисунок 4. |
Точка кривой, в которой кривая меняет направление изгиба, т.е. переходит
от выпуклости вверх к выпуклости вниз или наоборот, называется точкой
перегиба кривой (рис.4). (В этом определении предполагается, что в точке
перехода кривой от выпуклости вверх к выпуклости вниз (или наоборот)
имеется единственная касательная).
Теорема 8. Пусть функция f(x) имеет непрерывную вторую производную
f ''(x) и пусть A[x0 ; f(x0 )] - точка перегиба кривой y = f(x). Тогда
f ''(x0 ) = 0 или не существует.
Доказательство. Рассмотрим для определенности случай, когда кривая
y = f(x) в точке перегиба A[x0 ; f(x0 )] переходит от выпуклости вверх в
выпуклости вниз (рис.4). Тогда при достаточно малом h в интервале (x0 -
h, x0 ) вторая производная f ''(x) будет меньше нуля, а в инетрвале
(x0, x0 +h) - больше нуля.
Но f ''(x) - функция непрерывная, а потому, переходя от отрицательных
значений к положительным, она при x = x0 обращается в нуль: f ''(x0 ) = 0.
|[pic] |
|Рисунок 5. |
На рис.5 изображен график функции [pic]. Хотя при x0 = 0 имеется
касательная и точка перегиба, все же вторая производная f ''(x) не равна
нулю, она даже не существует в этой точке. В самом деле, имеем [pic]
Итак, f ''(0) не существует. Но тем не менее точка O(0; 0) является точкой
перегиба, так как при x < 0 f ''(x) > 0 и кривая выпукла вниз, а при
x > 0 f ''(x) < 0 и кривая выпукла вверх.
Таким образом в случае непрерывности второй производной f ''(x)
обращение в нуль или несуществование ее в какой-нибудь точки кривой
y = f(x) является необходимым условием существования точки перегиба. Однако
это условие не является достаточным.
Теорема 9. Если вторая производная f ''(x) непрерывна и меняет знак при
x = x0, то точка A[x0 ; f(x0 )] является точкой перегиба кривой y = f(x)
при условии, конечно, что в точке A существует касательная.
Доказательство. Пусть например f ''(x) < 0 при x0 - h < x < x0 и
f ''(x) > 0 при x0 < x < x0 + h. Тогда в интервале (x0 - h; x0 ) кривая
y = f(x) обращена выпуклостью вверх, а в интервале (x0 ; x0 + h) -
выпклостью вниз (смотри рис.4), т.е. точка A[x0 ; f(x0 )] есть точка
перегиба кривой, что и требовалось доказать.
6.5.Общая схема исследования функции и построение ее графика.
1. Находим область определения функции f(x)
2. Находим точки пересечения кривой y = f(x) с осями координат и наносим
их на чертеж.
3. Определяем, симметрична ли кривая y = f(x) относительно осей
координат и начала координат.
| |  скачать работу |
Приложения производной |
